最小二乘法是一種通過數(shù)值對曲線函數(shù)擬合的一種統(tǒng)計學(xué)方法，這里的最小是擬合誤差達(dá)到最小。我們可以根據(jù)擬合后的函數(shù)可以做一些預(yù)測或預(yù)報。它在數(shù)字信號處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域廣泛的應(yīng)用。本文W君將和大家一起學(xué)習(xí)如何通過最小二乘法進(jìn)行線性回歸。

我們來用一個最簡單的一元線性回歸模型的例子來理解最小二乘法。在生活中，我們知道人的身高和腳的大小是成正比的，這里我們假設(shè)身高和腳的大小是成一元線性關(guān)系的。那么我們怎么去建立這樣一個一元線性模型呢？我們從人群中隨機(jī)抽取幾個身高不同的人，分別測量他們的身高和腳長，假如下面的表格就是我們的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

將他們在坐標(biāo)系上顯示，如下圖，可以看到這些數(shù)據(jù)是趨近于一條直線的。

那么如何擬合這個直線呢？早在1805年勒讓德就提出了最小二乘法。其方法就是根據(jù)已知的m個樣本特征值，列出一個目標(biāo)函數(shù)E，并求其最優(yōu)解，從而使得實際值與預(yù)估值達(dá)到最小。這里的目標(biāo)函數(shù)也叫損失函數(shù)，它是可以表征回歸模型中估測值和真實值的不一致程度，其值越小越接近真實情況。它是由若干個預(yù)測值和真實之差的平方和構(gòu)成，所以我們稱之為最小二乘。

樣本特征值：

目標(biāo)函數(shù)：

這里我們假設(shè)擬合函數(shù)為：

這時我們的目標(biāo)函數(shù)就為：

然后，通過最小二乘法使目標(biāo)函數(shù)最小，求出這時的θ0和θ1的值，就可以得出擬合曲線了。

那么，問題來了？怎樣讓目標(biāo)函數(shù)最小，求出θ0和θ1這兩個參數(shù)呢？ 這里我們有兩種方法，對其進(jìn)行求解，分別是代數(shù)法和矩陣法。

代數(shù)法

先高能預(yù)警一下，代數(shù)法公式看上去比較復(fù)雜，讓人看得不免有些枯燥，W君覺得這里還是有必要列一下，大家只要理解了就好。代數(shù)法的解法就是先分別對θ0和θ1分別求偏導(dǎo)數(shù)，然后分別使導(dǎo)數(shù)為0，得到一個關(guān)于θ0和θ1的方程組，最后解方程組即可。

損失函數(shù)對θ0求導(dǎo)，得到方程：

損失函數(shù)對θ1求導(dǎo)，得到方程：

根據(jù)上面兩個方程組成一個二元一次方程組，求解θ0和θ1:

類似的，對于n元一次方程也需要對每個參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得出一個n元一次方程組，并求解出這n個θ參數(shù)。

看到這里一大堆公式是不是已經(jīng)頭大了？確實W君也覺得讓人頭大，那么，還有沒有更加簡潔的方法呀？這就是下面我們要學(xué)習(xí)的矩陣法了。

矩陣法

矩陣解法要比代數(shù)法簡潔很多，也是大家比較習(xí)慣使用的方法。這里我們用n元一次函數(shù)作為擬合函數(shù)來求導(dǎo)矩陣法的公式，推導(dǎo)過程同樣是痛苦的，但是大家最后記住公式就好，我們來看公式推導(dǎo)過程。

擬合函數(shù)：

其矩陣表示如下：

所以，損失函數(shù)：

在利用矩陣的跡公式得出：

令上面的公式為0，得出：

（敲黑板，這個公式我們一定要記住!!!）

這里的θ就是我們需要求的參數(shù)，不過這里的是向量形式。

C++實現(xiàn)矩陣法

下面我們用矩陣法求解本文開頭的例子，我們使用表格中的身高和腳長作為樣本數(shù)據(jù)，再利用開源庫Eigen來實現(xiàn)矩陣運算。關(guān)于Eigen的安裝和使用可以參考W君的這篇文章《快速入門矩陣運算——開源庫Eigen》。這里用到了轉(zhuǎn)置函數(shù)transpose()和求逆函數(shù)inverse()。

我們來看一下求解代碼，代碼中利用了矩陣法求θ向量的公式。

#include <iostream>
#include "eigen_3_3_7/Eigen/Eigen"

int main()
{

Eigen::MatrixXf X(8,2);
Eigen::VectorXf Y(8);
Eigen::VectorXf result;

X << 155, 1,
159, 1,
163, 1,
169, 1,
175, 1,
179, 1,
184, 1,
188, 1;

Y << 18.1, 19.7, 21.2, 24.2, 26.1, 27.8, 30.3, 32.4;

result = (X.transpose()*X).inverse() * X.transpose() * Y;

std::cout << "------ X ------" << std::endl << X << std::endl;
std::cout << "------ Y ------" << std::endl << Y << std::endl;
std::cout << "------ result ------" << std::endl << result << std::endl;

}

程序計算結(jié)果如下，θ向量兩個參數(shù)分別為0.425896和-48.0662。所以，我們擬合出的曲線就是 y=0.425896x - 48.0062了 ，是不是很簡單快捷？

最后，我們可以用Excel驗算下我們的結(jié)果，如下圖，擬合出的曲線和我們代碼求出來的是一致的。

關(guān)于如何使用Excel進(jìn)行曲線擬合，W君后續(xù)計劃將會在Excel技巧里再為大家詳細(xì)介紹，敬請關(guān)注。